Упр.26.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^4(?)-6sin^2(?)cos^2(?)+sin^4(?);
2) 2sin(4?)(1-tg^2(2?))/(1+ctg^2(?/2+2?);
3) (sin^2(2?)+4sin^4(?)-4sin^2(?)cos^2(?))/(4-sin^2(2?)-4sin^2(?));
4) (2sin^2(4?)-1)/(2ctg(?/4+4?)cos^2(5?/4-4?)).

1. $$\cos^4\alpha-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha$$

   Представим выражение как разность квадратов:
   $$\cos^4\alpha-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)^2-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

   Тогда
   $$ (\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)^2-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\cos^2 2\alpha-\sin^2 2\alpha=\cos 4\alpha. $$

2. $$\frac{2\sin 4\alpha\,(1-\tg^2 2\alpha)}{1+\ctg^2\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)}$$

   Используем формулы:
   $$1+\ctg^2\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)=1+\tg^2 2\alpha,$$
   $$1-\tg^2 2\alpha=\frac{\cos 4\alpha}{\cos^2 2\alpha}, \qquad 1+\tg^2 2\alpha=\frac{1}{\cos^2 2\alpha}.$$

   Тогда
   $$\frac{2\sin 4\alpha\,(1-\tg^2 2\alpha)}{1+\ctg^2\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)}=2\sin 4\alpha\cos 4\alpha=\sin 8\alpha.$$

3. $$\frac{\sin^2 2\alpha+4\sin^4\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4-\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha}$$

   Так как $$\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$ то числитель:
   $$\sin^2 2\alpha+4\sin^4\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=4\sin^4\alpha.$$

   Знаменатель:
   $$4-\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha=4-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha-4\sin^2\alpha$$
   $$=4(1-\sin^2\alpha)-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=4\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=4\cos^4\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha}=\tg^4\alpha.$$

4. $$\frac{2\sin^2 4\alpha-1}{2\ctg\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)}$$

   Используем формулы:
   $$2\sin^2 4\alpha-1=-\cos 8\alpha,$$
   $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)},$$
   $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)=\sin^2\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда
   $$\frac{2\sin^2 4\alpha-1}{2\ctg\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)} = \frac{-\cos 8\alpha}{2\ctg\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}.$$

   Так как
   $$2\ctg x\cdot \sin^2 x=2\cos x\sin x=\sin 2x,$$
   то при $$x=4\alpha+\frac{\pi}{4}$$ получаем
   $$2\ctg\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(8\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 8\alpha.$$

   Следовательно,
   $$\frac{-\cos 8\alpha}{\cos 8\alpha}=-1.$$

Ответ

1) $$\cos 4\alpha$$; 2) $$\sin 8\alpha$$; 3) $$\tg^4\alpha$$; 4) $$-1$$.