Упр.23.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^4(?)cos^2(?)+sin^2(?)cos^4(?)=sin^2(?)cos^2(?);
2) (tg^2(?)-sin^2(?))·ctg^2(?)/sin^2(?)=1.

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha).$$

Так как $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,$$ получаем

$$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)=\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем выражение:

$$\left(\tg^2 \alpha-\sin^2 \alpha\right)\cdot \frac{\ctg^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.$$

Используем формулы $$\tg^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$ и $$\ctg^2 \alpha=\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.$$ Тогда

$$\left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}-\sin^2 \alpha\right)\cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha\sin^2 \alpha}.$$

Вынесем $$\sin^2 \alpha$$ за скобки:

$$\frac{\sin^2 \alpha(1-\cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha}\cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha}.$$

Так как $$1-\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha,$$ получаем

$$\frac{\sin^2 \alpha\cdot \sin^2 \alpha\cdot \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha\cdot \sin^4 \alpha}=1.$$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha=\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$$;

2) $$\left(\tg^2 \alpha-\sin^2 \alpha\right)\cdot \frac{\ctg^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=1.$$