Упр.21.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 21.20. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение v(a^2-x^2)=1 имеет ровно восемь корней.

Пусть

$$t=\sqrt{a^2-x^2}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos t=1.$$

Это возможно при

$$t=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},\quad t\ge 0.$$

Значит, нужно, чтобы уравнение

$$\sqrt{a^2-x^2}=2\pi n$$

имело ровно восемь корней по $x$.

Так как

$$\sqrt{a^2-x^2}\ge 0,$$

то рассматриваем значения

$$6\pi<\sqrt{a^2-x^2}<8\pi.$$

Возведём в квадрат:

$$36\pi^2<a^2-x^2<64\pi^2.$$

Из левой части получаем

$$x^2<a^2-36\pi^2,$$

откуда необходимо

$$a^2>36\pi^2,$$

то есть

$$a<-6\pi \quad \text{или} \quad a>6\pi.$$

Из правой части имеем

$$x^2>a^2-64\pi^2,$$

и чтобы решения существовали, нужно

$$a^2<64\pi^2,$$

то есть

$$-8\pi<a<8\pi.$$

Совмещая условия, получаем

$$(-8\pi,-6\pi)\cup(6\pi,8\pi).$$

Ответ

$$(-8\pi,-6\pi)\cup(6\pi,8\pi).$$