Упр.21.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(vcos(x))^2; 4) y=|cos(x)|/cos(x);
2) y=sin(x)-vsin^2(x); 5) y=ctg(x)|sin(x)|;
3) y=v(sin(x)-1); 6) y=sin|x|/|sin(x)|.

1. $$y=(\sqrt{\cos x})^2.$$

   Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $$\cos x\ge 0.$$ Тогда

   $$y=\cos x,\quad \cos x\ge 0.$$

   То есть график совпадает с графиком $$y=\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0$$.

2. $$y=\sin x-\sqrt{\sin^2 x}.$$

   Поскольку $$\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|,$$ получаем

   $$y=\sin x-|\sin x|.$$

   Если $$\sin x\le 0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

   $$y=2\sin x.$$

   Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

   $$y=0.$$

3. $$y=\sqrt{\sin x-1}.$$

   Для существования корня нужно

   $$\sin x-1\ge 0.$$

   Но $$\sin x\le 1,$$ поэтому возможно только

   $$\sin x=1.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{1-1}=0.$$

   График состоит из точек, где $$\sin x=1$$, то есть $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{|\cos x|}{\cos x}.$$

   При $$\cos x>0$$ имеем $$|\cos x|=\cos x,$$ значит

   $$y=1.$$

   При $$\cos x<0$$ имеем $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

   $$y=-1.$$

   Функция не определена при $$\cos x=0,$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

5. $$y=\ctg x\,|\sin x|.$$

   Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то при $$\sin x\ne 0$$

   $$y=\frac{\cos x}{\sin x}|\sin x|=\cos x\cdot \frac{|\sin x|}{\sin x}.$$

   Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

   $$y=\cos x.$$

   Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

   $$y=-\cos x.$$

   При $$\sin x=0$$ функция не определена, то есть $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

6. $$y=\frac{\sin|x|}{|\sin x|}.$$

   Так как $$\sin(-|x|)=\sin|x|,$$ то функция чётная:

   $$y(-x)=\frac{\sin|-x|}{|\sin(-x)|}= \frac{\sin|x|}{|\sin x|}=y(x).$$

   При $$x>0$$ имеем $$|x|=x,$$ поэтому

   $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}.$$

   Если $$\sin x>0,$$ то $$y=1.$$

   Если $$\sin x<0,$$ то $$y=-1.$$

   Функция не определена при $$\sin x=0,$$ то есть при $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. $$y=\cos x$$ при $$\cos x\ge 0.$$
2. $$y=2\sin x$$ при $$\sin x\le 0,$$ и $$y=0$$ при $$\sin x\ge 0.$$
3. $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
4. $$y=1$$ при $$\cos x>0,$$ $$y=-1$$ при $$\cos x<0,$$ $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k.$$
5. $$y=\cos x$$ при $$\sin x>0,$$ $$y=-\cos x$$ при $$\sin x<0,$$ $$x\ne \pi k.$$
6. $$y=1$$ при $$\sin x>0,$$ $$y=-1$$ при $$\sin x<0,$$ $$x\ne \pi k.$$