Упр.20.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.18. При каких целых значениях n число 5? является периодом функции f(x)=cos(nx)sin(15x/n^2)?

Пусть период функции равен $$T=5\pi.$$ Тогда для любого $$x$$ должно выполняться

$$f(x+T)=f(x).$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\cos(nx)\sin\left(\frac{15x}{n^2}\right).$$

Проверим, при каких целых $$n$$ число $$5\pi$$ является периодом.

Для этого достаточно, чтобы оба множителя не изменялись при сдвиге на $$5\pi$$:

$$\cos\bigl(n(x+5\pi)\bigr)=\cos(nx),$$

$$\sin\left(\frac{15(x+5\pi)}{n^2}\right)=\sin\left(\frac{15x}{n^2}\right).$$

Первое равенство выполняется, так как

$$\cos(nx+5\pi n)=\cos(nx)$$

при любом целом $$n$$.

Для второго множителя нужно, чтобы

$$\frac{15\cdot 5\pi}{n^2}=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$\frac{75}{n^2}=k,$$

то есть $$n^2$$ должно делить $$75.$$

Из целых квадратов, делящих $$75$$, подходят только

$$n^2=1 \quad \text{и} \quad n^2=25.$$

Следовательно,

$$n=\pm 1,\ \pm 5.$$

Ответ

$$-5,\,-1,\,1,\,5.$$