Упр.20.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 20.16. Найдите все рациональные значения параметра а, при которых функции f(x)=cos(2x/(v5+a^2)) и g(x)=tg(x/(v125-4a+1)) имеют общий период.

Период функции $$f(x)=\cos\frac{2x}{\sqrt{5}+a^2}$$ равен

$$T_f=2\pi\cdot \frac{\sqrt{5}+a^2}{2}=(\sqrt{5}+a^2)\pi.$$

Период функции $$g(x)=\tg\frac{x}{\sqrt{125-4a+1}}$$ равен

$$T_g=\pi\cdot \sqrt{125-4a+1}=\pi\sqrt{126-4a}.$$

Чтобы функции имели общий период, отношение их периодов должно быть рациональным:

$$\frac{T_g}{T_f}=\frac{\sqrt{126-4a}}{\sqrt{5}+a^2}\in \mathbb{Q}.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{126-4a}}{\sqrt{5}+a^2}\cdot \frac{\sqrt{5}-a^2}{\sqrt{5}-a^2} =\frac{\sqrt{(126-4a)(5-a^4)}}{5-a^4}.$$

Чтобы дробь была рациональной, достаточно, чтобы подкоренное выражение было квадратом рационального числа. В данном случае это возможно при

$$4a-1+5a^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$5a^2+4a-1=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-1)=16+20=36,$$

$$a=\frac{-4\pm 6}{10}.$$

Получаем:

$$a_1=-1,\qquad a_2=\frac{1}{5}=0{,}2.$$

Ответ

$$-1;\ 0{,}2$$