Упр.2.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 2.10. В выпуклом n-угольнике (n?4) никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного n-угольника.

Подробный ответ

Каждому четырёхугольнику, вершины которого являются вершинами данного выпуклого $n$-угольника, поставим в соответствие точку пересечения его диагоналей.

Так как в выпуклом многоугольнике никакие три диагонали не пересекаются в одной точке, то диагонали разных таких четырёхугольников пересекаются в разных точках. Значит, разным четырёхугольникам соответствуют разные точки пересечения диагоналей.

С другой стороны, любая точка пересечения диагоналей выпуклого $n$-угольника определяется ровно одним четырёхугольником: если две диагонали пересекаются, то их концы образуют четырёхугольник, диагонали которого и пересекаются в этой точке.

Следовательно, между множеством точек пересечения диагоналей и множеством четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника, можно установить взаимно однозначное соответствие. Поэтому количество этих точек равно количеству таких четырёхугольников.