Упр.15.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.8. Решите уравнение x+v((x+6)(x-2))=2+v(x+6)+v(x-2).

Обозначим

$$t=\sqrt{x+6}+\sqrt{x-2}.$$

Тогда

$$t^2=x+6+2\sqrt{(x+6)(x-2)}+x-2,$$

откуда

$$\sqrt{(x+6)(x-2)}=\frac{t^2}{2}-x-2.$$

Подставим это в уравнение:

$$x+\frac{t^2}{2}-x-2=2+t,$$

$$t^2-2t-8=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2},$$

$$t_1=-2,\quad t_2=4.$$

Так как $$t=\sqrt{x+6}+\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то значение $$t=-2$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-2}=4.$$

Возведём в квадрат:

$$x+6+2\sqrt{(x+6)(x-2)}+x-2=16,$$

$$2\sqrt{x^2+4x-12}=12-2x,$$

$$\sqrt{x^2+4x-12}=6-x.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$x\le 6.$$ Снова возведём в квадрат:

$$x^2+4x-12=(6-x)^2,$$

$$x^2+4x-12=x^2-12x+36,$$

$$16x=48,$$

$$x=3.$$

Проверка: $$3+\sqrt{(3+6)(3-2)}=3+\sqrt{9}=6,$$ а $$2+\sqrt{3+6}+\sqrt{3-2}=2+3+1=6.$$

Ответ

$$3$$