Упр.15.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 15.18. Решите уравнение (2-x)^(1/3)=1-v(x-1).

Пусть

$$a=\sqrt[3]{2-x}, \quad b=\sqrt{x-1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a=1-b,$$

а также

$$b=1-a.$$

Возведём первое равенство в куб, а второе — в квадрат:

$$a^3=2-x,$$

$$b^2=x-1.$$

Сложим эти равенства:

$$a^3+b^2=(2-x)+(x-1)=1.$$

Подставим $$b=1-a$$:

$$a^3+(1-a)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$a^3+1-2a+a^2=1,$$

$$a^3+a^2-2a=0,$$

$$a(a^2+a-2)=0,$$

$$a(a+2)(a-1)=0.$$

Отсюда

$$a=0,\quad a=-2,\quad a=1.$$

Найдём соответствующие значения $$b=1-a$$:

$$a=0 \Rightarrow b=1,$$

$$a=-2 \Rightarrow b=3,$$

$$a=1 \Rightarrow b=0.$$

Теперь найдём $$x$$ из равенства $$b=\sqrt{x-1}$$:

$$b=1 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2,$$

$$b=3 \Rightarrow x-1=9 \Rightarrow x=10,$$

$$b=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Проверка показывает, что все найденные значения подходят.

Ответ

$$1;\ 2;\ 10$$