Упр.14.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(22-x)-v(10-x)=2; 3) v(2x+3)-v(x+1)=1;
2) v(x-5)-v(9-x)=1; 4) 2v(2-x)-v(7-x)=1.

1. $$\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$$

   Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{22-x}=2+\sqrt{10-x}$$

   $$22-x=4+4\sqrt{10-x}+10-x$$

   $$4\sqrt{10-x}=8$$

   $$\sqrt{10-x}=2$$

   $$10-x=4,\quad x=6$$

   Проверка области определения:

   $$22-x\ge 0,\quad 10-x\ge 0$$

   При $$x=6$$ все условия выполняются.

2. $$\sqrt{x-5}-\sqrt{9-x}=1$$

   $$\sqrt{x-5}=1+\sqrt{9-x}$$

   $$x-5=1+2\sqrt{9-x}+9-x$$

   $$2\sqrt{9-x}=x-15$$

   $$4(9-x)=(x-15)^2$$

   $$36-4x=x^2-30x+225$$

   $$x^2-26x+189=0$$

   $$D=26^2-4\cdot 189=676-756=-80$$

   Действительных корней нет.

3. $$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$$

   $$\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}$$

   $$2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1$$

   $$2\sqrt{x+1}=x+1$$

   $$4(x+1)=(x+1)^2$$

   $$x^2-2x-3=0$$

   $$D=16,\quad x_1=-1,\quad x_2=3$$

   Проверка области определения:

   $$2x+3\ge 0,\quad x+1\ge 0$$

   Оба значения подходят.

4. $$2\sqrt{2-x}-\sqrt{7-x}=1$$

   $$2\sqrt{2-x}=1+\sqrt{7-x}$$

   $$4(2-x)=1+2\sqrt{7-x}+7-x$$

   $$2\sqrt{7-x}=-3x$$

   $$4(7-x)=9x^2$$

   $$9x^2+4x-28=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 9\cdot(-28)=1024$$

   $$x=\frac{-4\pm 32}{18}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=\frac{14}{9}$$

   С учётом области определения $$x\le 2$$ и условия $$-3x\ge 0$$ подходит только $$x=-2$$.

Ответ

1) $$6$$; 2) решений нет; 3) $$-1,\ 3$$; 4) $$-2$$.