Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3x+1)^(1/3) < 4; 2) (4x+1)^(1/8)?1; 3) (x^2-8)^(1/4) > (2x)^(1/4).

1. $$\sqrt[3]{3x+1}<4$$

   Возведём обе части в куб:

   $$3x+1<64$$

   $$3x<63$$

   $$x<21$$

2. $$\sqrt[8]{4x+1}\le 1$$

   Так как функция $$\sqrt[8]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем:

   $$0\le 4x+1\le 1$$

   $$-1\le 4x\le 0$$

   $$-\frac14\le x\le 0$$

3. $$\sqrt[4]{x^2-8}>\sqrt[4]{2x}$$

   Для существования корней нужно:

   $$x^2-8\ge 0,\quad 2x\ge 0$$

   То есть

   $$x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2,\quad x\ge 0$$

   Следовательно, $$x\ge 2$$.

   Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает, сравним подкоренные выражения:

   $$x^2-8>2x$$

   $$x^2-2x-8>0$$

   $$ (x-4)(x+2)>0 $$

   Отсюда $$x<-2$$ или $$x>4$$.

   С учётом области допустимых значений $$x\ge 2$$ получаем:

   $$x>4$$

Ответ

1) $$(-\infty; 21)$$; 2) $$\left[-\frac14; 0\right]$$; 3) $$(4; +\infty)$$.