Упр.9.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (ab)^(1/4)=(-a)^(1/4)·(-b)^(1/4); 3) (ab)^(1/5)=a^(1/5)·b^(1/5);
2) (-ab)^(1/4)=a^(1/4)·(-b)^(1/4); 4) (ab)^(1/5)=(-a)^(1/5)·(-b)^(1/5)?

1. $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$
   Чтобы равенство имело смысл, нужно:
   $$-a\ge 0,\quad -b\ge 0,$$
   то есть
   $$a\le 0,\quad b\le 0.$$
   При этих значениях
   $$\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}=\sqrt[4]{(-a)(-b)}=\sqrt[4]{ab},$$
   значит, равенство верно.
2. $$\sqrt[4]{-ab}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$
   Для существования корней нужно:
   $$a\ge 0,\quad -b\ge 0,$$
   то есть
   $$a\ge 0,\quad b\le 0.$$
   Тогда
   $$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}=\sqrt[4]{a(-b)}=\sqrt[4]{-ab},$$
   следовательно, равенство выполняется.
3. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[5]{b}$$
   Корень пятой степени определён при любых действительных $a$ и $b$, и для нечётного корня верно:
   $$\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{ab}.$$
   Значит, равенство выполняется при любых действительных $a$ и $b$.
4. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}$$
   Корни пятой степени существуют при любых действительных $a$ и $b$. Кроме того,
   $$\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}=\sqrt[5]{(-a)(-b)}=\sqrt[5]{ab},$$
   поэтому равенство верно при любых действительных $a$ и $b$.

Ответ

1) $$a\le 0,\ b\le 0$$

2) $$a\ge 0,\ b\le 0$$

3) $$a\in \mathbb{R},\ b\in \mathbb{R}$$

4) $$a\in \mathbb{R},\ b\in \mathbb{R}$$