Упр.40.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции y=0,5x^2, D(y)=[-3v2; 3v2], а две другие — прямой y=9. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Подробный ответ

Так как график функции $$y=0{,}5x^2$$ симметричен относительно оси ординат, то и искомый прямоугольник удобно рассматривать симметрично относительно этой оси. Пусть его боковая сторона имеет абсциссу $$x>0$$. Тогда верхние вершины лежат на прямой $$y=9$$, а нижние — на параболе $$y=0{,}5x^2$$.

Высота прямоугольника равна

$$9-0{,}5x^2,$$

а его ширина — $$2x$$. Значит, площадь

$$S(x)=2x(9-0{,}5x^2)=18x-x^3.$$

Найдём максимум этой функции на промежутке $$0\le x\le 3\sqrt2$$:

$$S'(x)=18-3x^2.$$

Приравняем производную к нулю:

$$18-3x^2=0,$$

$$x^2=6,$$

$$x=\sqrt6.$$

Вычислим площадь:

$$S(\sqrt6)=18\sqrt6-(\sqrt6)^3=18\sqrt6-6\sqrt6=12\sqrt6.$$