Упр.37.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 37.21. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f(x)=x^2-4 в точке с абсциссой x_0=-2.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^2-4, \qquad f'(x)=2x.$$

В точке $$x_0=-2$$ имеем:

$$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4,$$

$$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=-4(x+2)+0=-4x-8.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью абсцисс:

$$-4x-8=0,$$

$$x=-2.$$

С осью ординат:

$$y(0)=-8.$$

Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты длиной $$2$$ и $$8$$, поэтому его площадь равна:

$$S=\frac12\cdot 2\cdot 8=8.$$

Ответ

$$8$$