Упр.31.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(2x)+2sin(x)=cos(x)+1; 6) sin(4x)+2cos^2(x)=1;
2) 1+cos(8x)=cos(4x); 7) cos(x)-cos(3x)=3sin^2(x);
3) cos(x)+cos(3x)+cos(2x)=0; 8) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)=0;
4) 2sin(2x)+cos(3x)-cos(x)=0; 9) cos(7x)+sin(8x)=cos(3x)-sin(2x);
5) cos(x)-cos(3x)+sin(x)=0; 10) v3sin(2x)+cos(5x)-cos(9x)=0.

1. $$\sin 2x+2\sin x=\cos x+1$$
   $$2\sin x\cos x+2\sin x-\cos x-1=0$$
   $$2\sin x(\cos x+1)-(\cos x+1)=0$$
   $$(2\sin x-1)(\cos x+1)=0$$
   $$2\sin x-1=0 \quad \text{или} \quad \cos x+1=0$$
   $$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n$$
2. $$1+\cos 8x=\cos 4x$$
   $$1+(2\cos^2 4x-1)-\cos 4x=0$$
   $$2\cos^2 4x-\cos 4x=0$$
   $$\cos 4x(2\cos 4x-1)=0$$
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=\frac12$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
3. $$\cos x+\cos 3x+\cos 2x=0$$
   $$(\cos 3x+\cos x)+\cos 2x=0$$
   $$2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0$$
   $$\cos 2x(2\cos x+1)=0$$
   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
4. $$2\sin 2x+\cos 3x-\cos x=0$$
   $$2\sin 2x+(\cos 3x-\cos x)=0$$
   $$2\sin 2x-2\sin 2x\sin x=0$$
   $$2\sin 2x(1-\sin x)=0$$
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$
   $$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   Второе множество входит в первое, поэтому
   $$x=\frac{\pi n}{2}$$
5. $$\cos x-\cos 3x+\sin x=0$$
   $$\sin x-(\cos 3x-\cos x)=0$$
   $$\sin x+2\sin 2x\sin x=0$$
   $$\sin x(1+2\sin 2x)=0$$
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-\frac12$$
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
6. $$\sin 4x+2\cos^2 x=1$$
   $$\sin 4x+(2\cos^2 x-1)=0$$
   $$2\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0$$
   $$\cos 2x(2\sin 2x+1)=0$$
   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-\frac12$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
7. $$\cos x-\cos 3x=3\sin^2 x$$
   $$3\sin^2 x+(\cos 3x-\cos x)=0$$
   $$3\sin^2 x-2\sin 2x\sin x=0$$
   $$3\sin^2 x-4\sin^2 x\cos x=0$$
   $$\sin^2 x(3-4\cos x)=0$$
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac34$$
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\arccos\frac34+2\pi n$$
8. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$
   $$(\sin 3x+\sin x)+(\sin 4x+\sin 2x)=0$$
   $$2\sin 2x\cos x+2\sin 3x\cos x=0$$
   $$2\cos x(\sin 2x+\sin 3x)=0$$
   $$4\cos x\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=0$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n$$
   Так как $$x=\pi+2\pi n$$ входит в первое множество, получаем
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi n}{5}$$
9. $$\cos 7x+\sin 8x=\cos 3x-\sin 2x$$
   $$(\sin 8x+\sin 2x)+(\cos 7x-\cos 3x)=0$$
   $$2\sin 5x\cos 3x-2\sin 5x\sin 2x=0$$
   $$2\sin 5x(\cos 3x-\sin 2x)=0$$
   $$2\sin 5x\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-\sin 2x\right)=0$$
   $$2\sin 5x\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=0$$
   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
   $$x=\frac{\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
10. $$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 5x-\cos 9x=0$$
    $$\sqrt{3}\sin 2x-(\cos 9x-\cos 5x)=0$$
    $$\sqrt{3}\sin 2x+2\sin 2x\sin 7x=0$$
    $$\sin 2x(\sqrt{3}+2\sin 7x)=0$$
    $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 7x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
    $$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{21}+\frac{\pi n}{7}$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \pi+2\pi n$$;
2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$;
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
4) $$x=\frac{\pi n}{2}$$;
5) $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$;
6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$;
7) $$x=\pi n,\ \pm\arccos\frac34+2\pi n$$;
8) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{2\pi n}{5}$$;
9) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$;
10) $$x=\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{21}+\frac{\pi n}{7}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.