Упр.25.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(a)sin(3a)+sin(4a)sin(8a)=sin(7a)sin(5a);
2) sin(?/4+5a)cos(?/4+2a)-sin(?/4+a)sin(?/4-6a)=sin(4a)cos(a).

1) Преобразуем произведения в суммы по формуле

$$\sin x \sin y=\frac12\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr).$$

Тогда

$$ \sin a\sin 3a+\sin 4a\sin 8a =\frac12(\cos 2a-\cos 4a)+\frac12(\cos 4a-\cos 12a) $$

$$ =\frac12(\cos 2a-\cos 12a) =-\frac12(\cos 12a-\cos 2a). $$

Применим формулу разности косинусов:

$$ \cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}. $$

$$ -\frac12(\cos 12a-\cos 2a) =-\frac12\bigl(-2\sin 7a\sin 5a\bigr) =\sin 5a\sin 7a. $$

Следовательно, тождество доказано.

2) Используем формулы приведения и преобразования произведения в сумму:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+5a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2a\right) =\frac12\left(\sin 3a+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7a\right)\right), $$

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-6a\right) =\frac12\left(\cos 7a-\cos\left(\frac{\pi}{2}-5a\right)\right). $$

Тогда левая часть равна

$$ \frac12\left(\sin 3a+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7a\right)\right) -\frac12\left(\cos 7a-\cos\left(\frac{\pi}{2}-5a\right)\right) $$

$$ =\frac12(\sin 3a+\cos 7a)-\frac12(\cos 7a-\sin 5a) =\frac12(\sin 3a+\sin 5a). $$

Применим формулу суммы синусов:

$$ \sin 3a+\sin 5a=2\sin 4a\cos a. $$

Значит,

$$ \frac12(\sin 3a+\sin 5a)=\sin 4a\cos a. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin a\sin 3a+\sin 4a\sin 8a=\sin 5a\sin 7a.$$
2) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-6a\right)=\sin 4a\cos a.$$