Упр.21.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(a+?)cos(a-?)=cos^2(a)-sin^2(?);
2) tg(a+?)-(tg(a)+tg(?))-tg(a+?)tg(a)tg(?)=0.

1) Преобразуем левую часть:

$$ \cos(a+\beta)\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta) $$

$$ =\cos^2 a\cos^2\beta-\sin^2 a\sin^2\beta $$

$$ =\cos^2 a(1-\sin^2\beta)-(1-\cos^2 a)\sin^2\beta $$

$$ =\cos^2 a-\cos^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2 a\sin^2\beta =\cos^2 a-\sin^2\beta. $$

Следовательно, тождество верно.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \tg(a+\beta)-(\tg a+\tg\beta)-\tg(a+\beta)\tg a\tg\beta $$

Подставим формулу суммы тангенсов:

$$ \tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\tg\beta}. $$

Тогда

$$ \frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\tg\beta}-(\tg a+\tg\beta)-\frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\tg\beta}\tg a\tg\beta $$

$$ =\frac{\tg a+\tg\beta}{1-\tg a\tg\beta}\bigl(1-\tg a\tg\beta\bigr)-(\tg a+\tg\beta)=0. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\cos^2 a-\sin^2\beta$$

2) $$\tg(a+\beta)-(\tg a+\tg\beta)-\tg(a+\beta)\tg a\tg\beta=0$$