Упр.21.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 21.15. Дано: tg(a)=1/2, sin(?)=3/5, 0 < ? < ?/2. Найдите tg(a+?).

Так как $$\sin \beta=\frac{3}{5}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\beta$$ лежит в первой четверти, значит

$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}.$$

Подставим данные:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}}=\frac{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{8}}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}}=2.$$

Ответ

$$2$$