Упр.20.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 20.14. Докажите тождество 2(sin^6(a)+cos^6(a))-3(sin^4(a)+cos^4(a))=-1.

Преобразуем выражение, используя тождество $$\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

$$ 2(\sin^6 a+\cos^6 a)-3(\sin^4 a+\cos^4 a) $$
$$ =2\sin^6 a+2\cos^6 a-3\sin^4 a-3\cos^4 a. $$

Заменим степени косинуса через $$1-\sin^2 a$$:

$$ 2\cos^6 a=2(1-\sin^2 a)^3=2(1-3\sin^2 a+3\sin^4 a-\sin^6 a), $$
$$ 3\cos^4 a=3(1-\sin^2 a)^2=3(1-2\sin^2 a+\sin^4 a). $$

Тогда

$$ 2\cos^6 a-3\cos^4 a=-1+3\sin^4 a-2\sin^6 a. $$

Подставим это в исходное выражение:

$$ 2(\sin^6 a+\cos^6 a)-3(\sin^4 a+\cos^4 a) $$
$$ =(2\sin^6 a-3\sin^4 a)+(2\cos^6 a-3\cos^4 a) $$
$$ =(2\sin^6 a-3\sin^4 a)+(-1+3\sin^4 a-2\sin^6 a) $$
$$ =-1. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$-1$$