Упр.15.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 15.21. Докажите, что cos a=-cos(Пи+a).

Рассмотрим точки $$A$$ и $$A_1$$, полученные поворотом точки $$O(1;0)$$ на углы $$a$$ и $$\pi+a$$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$.

$$\angle AOB=a,$$
$$\angle A_1OB_1=\angle BOA_1-\pi=(\pi+a)-\pi=a,$$
$$\angle OAB=90^\circ-\angle AOB=90^\circ-a,$$
$$\angle OA_1B_1=90^\circ-\angle A_1OB_1=90^\circ-a,$$
$$OA=OA_1=1.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по второму признаку, значит,

$$OB=OB_1.$$

Тогда

$$|\cos a|=|\cos(\pi+a)|.$$

Так как точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат в противоположных четвертях, то их абсциссы противоположны по знаку. Поэтому

$$\cos a=-\cos(\pi+a).$$

Ответ

$$\cos a=-\cos(\pi+a).$$