Упр.11.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (x-1-2корень из (x-2))+корень из (x+7-6корень из (x-2))=6;
2) корень из (x+2+2корень из (x+1))-корень из (x+5-4корень из (x+1))=4.

Подробный ответ

Пусть $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$x=y^2+2.$$
Подставим в уравнение:
$$ \sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=6 $$
$$ \sqrt{y^2+2-1-2y}+\sqrt{y^2+2+7-6y}=6 $$
$$ \sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=6 $$
$$ |y-1|+|y-3|=6. $$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$y\ge 3,$$ то
$$ (y-1)+(y-3)=6 $$
$$ 2y-4=6 $$
$$ y=5. $$
2) Если $$1\le y<3,$$ то
$$ (y-1)+(3-y)=6 $$
$$ 2=6, $$
что невозможно.
3) Если $$y<1,$$ то
$$ (1-y)+(3-y)=6 $$
$$ 4-2y=6 $$
$$ y=-1, $$
но это не подходит условию $$y<1$$? Подходит, значит проверяем:
$$ |{-1}-1|+|{-1}-3|=2+4=6. $$
Следовательно, $$y=-1$$ и $$y=5.$$ Но так как $$y=\sqrt{x-2}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Остаётся $$y=5.$$
$$ \sqrt{x-2}=5 $$
$$ x-2=25 $$
$$ x=27. $$
Пусть $$y=\sqrt{x+1}.$$ Тогда $$x=y^2-1.$$
Подставим в уравнение:
$$ \sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}=4 $$
$$ \sqrt{y^2-1+2+2y}-\sqrt{y^2-1+5-4y}=4 $$
$$ \sqrt{(y+1)^2}-\sqrt{(y-2)^2}=4 $$
$$ |y+1|-|y-2|=4. $$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$y\ge 2,$$ то
$$ (y+1)-(y-2)=4 $$
$$ 3=4, $$
что невозможно.
2) Если $$-1\le y<2,$$ то
$$ (y+1)-(2-y)=4 $$
$$ 2y-1=4 $$
$$ y=2{,}5, $$
но это не подходит условию $$y<2.$$
3) Если $$y<-1,$$ то
$$ -(y+1)-(2-y)=4 $$
$$ -3=4, $$
что невозможно.
Значит, корней нет.