Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) x^(1/3)+2x^(2/3)-3=0; 6) x^2-x+9+корень из (x^2-x+9)=12;
2) корень из x+x^(1/4)-6=0; 7) (x^2-4x+4)^(1/3)-2(x-2)^(1/3)=0;
3) 2x-7корень из x-15=0; 8) 1/(x^(1/4)-1)+3/(x^(1/4)+1)=2;
4) x^(1/3)+3x^(1/6)=4; 9) корень из ((x+5)/(x-1))+7корень из ((x-1)/(x+5))=8;
5) 2корень из (x+1)-5=3/корень из (x+1); 10) (xx^(1/3)-1)/(x^(2/3)-1)-(x^(2/3)-1)/(x^(1/3)+1)=4.

Подробный ответ

$$\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{x^2}-3=0.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x^2}=y^2$$. Получаем:
$$2y^2+y-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4},$$
$$y_1=-\frac{3}{2}, \quad y_2=1.$$
Возвращаемся к замене:
$$x_1=\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}, \quad x_2=1^3=1.$$
$$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-6=0.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=y^2$$. Получаем:
$$y^2+y-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2},$$
$$y_1=-3, \quad y_2=2.$$
Так как $$y=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=2$$. Тогда
$$x=2^4=16.$$
$$2x-7\sqrt{x}-15=0.$$
Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$. Получаем:
$$2y^2-7y-15=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{4},$$
$$y_1=-\frac{3}{2}, \quad y_2=5.$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=5$$. Тогда
$$x=5^2=25.$$
$$\sqrt[3]{x}+3\sqrt[6]{x}=4.$$
Пусть $$y=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2$$. Получаем:
$$y^2+3y-4=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2},$$
$$y_1=-4, \quad y_2=1.$$
Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=1$$. Тогда
$$x=1^6=1.$$
$$2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}.$$
Пусть $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда $$y>0$$. Получаем:
$$2y-5=\frac{3}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$2y^2-5y=3,$$
$$2y^2-5y-3=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4},$$
$$y_1=-\frac{1}{2}, \quad y_2=3.$$
Подходит только $$y=3$$. Тогда
$$x+1=9,\quad x=8.$$
$$x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+9}$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$y^2=x^2-x+9$$. Получаем:
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$
$$y_1=-4, \quad y_2=3.$$
Подходит только $$y=3$$. Тогда
$$x^2-x+9=9,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
$$\sqrt[3]{x^2-4x+4}-2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$
Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ то
$$\sqrt[3]{(x-2)^2}-2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x-2}$$, тогда $$\sqrt[3]{(x-2)^2}=y^2$$. Получаем:
$$y^2-2y-3=0.$$
$$D=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2},$$
$$y_1=-1, \quad y_2=3.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1,$$
$$\sqrt[3]{x-2}=3 \Rightarrow x-2=27 \Rightarrow x=29.$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{x}-1}+\frac{3}{\sqrt[4]{x}+1}=2.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$y\ge 0$$, $$y\ne 1$$. Получаем:
$$\frac{1}{y-1}+\frac{3}{y+1}=2.$$
Умножим на $$ (y-1)(y+1) $$:
$$y+1+3(y-1)=2(y^2-1).$$
$$4y-2=2y^2-2,$$
$$2y^2-4y=0,$$
$$2y(y-2)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=2$$. Тогда
$$x=0^4=0,\quad x=2^4=16.$$
$$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8.$$
Пусть $$y=\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}$$, тогда
$$\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=\frac{1}{y},$$
и уравнение принимает вид:
$$y+\frac{7}{y}=8.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-8y+7=0.$$
$$D=64-28=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},$$
$$y_1=1,\quad y_2=7.$$
1) $$y=1$$:
$$\frac{x+5}{x-1}=1 \Rightarrow x+5=x-1,$$
что невозможно.
2) $$y=7$$:
$$\frac{x+5}{x-1}=49,$$
$$x+5=49(x-1),$$
$$x+5=49x-49,$$
$$48x=54,$$
$$x=\frac{54}{48}=\frac{9}{8}.$$
$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$x=y^3$$ и $$\sqrt[3]{x^2}=y^2$$. Получаем:
$$\frac{y^4-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$
Так как $$y^4-1=(y^2-1)(y^2+1),$$ то
$$y^2+1-\frac{(y-1)(y+1)}{y+1}=4.$$
$$y^2+1-(y-1)=4,$$
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2},$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
Тогда
$$x_1=(-1)^3=-1,\quad x_2=2^3=8.$$