Упр.10.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ((a^0,5+2)/(a+2a^0,5+1)-(a^0,5-2)/(a-1)):a^0,5/(a^0,5+1)=2/(a-1);
2) (a-b)^2/(a^(3/2)-b^(3/2))+(a^2-b^2)/((a^(1/2)+b^(1/2))(a+a^(1/2) b^(1/2)+b))=2a^(1/2)-2b^(1/2).

1. $$\left(\frac{\sqrt a+2}{a+2\sqrt a+1}-\frac{\sqrt a-2}{a-1}\right):\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1}$$

   Заметим, что
   $$a+2\sqrt a+1=(\sqrt a+1)^2,\qquad a-1=(\sqrt a-1)(\sqrt a+1).$$
   Тогда

   $$ \left(\frac{\sqrt a+2}{(\sqrt a+1)^2}-\frac{\sqrt a-2}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)}\right)\cdot \frac{\sqrt a+1}{\sqrt a} $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(\sqrt a+2)(\sqrt a-1)-(\sqrt a-2)(\sqrt a+1)}{(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)}\cdot \frac{1}{\sqrt a}. $$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$ (\sqrt a+2)(\sqrt a-1)=a+\sqrt a-2, $$
   $$ (\sqrt a-2)(\sqrt a+1)=a-\sqrt a-2. $$
   Тогда
   $$ \frac{(a+\sqrt a-2)-(a-\sqrt a-2)}{(\sqrt a+1)(\sqrt a-1)}\cdot \frac{1}{\sqrt a} = \frac{2\sqrt a}{a-1}\cdot \frac{1}{\sqrt a} = \frac{2}{a-1}. $$

2. $$ \frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}}+\frac{a^2-b^2}{(\sqrt a+\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)} $$

   Разложим на множители:
   $$ a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b), $$
   $$ a^{3/2}-b^{3/2}=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b), $$
   $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)(a+b). $$

   Тогда
   $$ \frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)^2}{(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)^2}{a+\sqrt{ab}+b}, $$
   а
   $$ \frac{a^2-b^2}{(\sqrt a+\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)(a+b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a+b)}{a+\sqrt{ab}+b}. $$

   Сложим дроби:
   $$ \frac{(\sqrt a-\sqrt b)\bigl((\sqrt a+\sqrt b)^2+a+b\bigr)}{a+\sqrt{ab}+b}. $$
   Так как
   $$ (\sqrt a+\sqrt b)^2=a+2\sqrt{ab}+b, $$
   получаем
   $$ \frac{(\sqrt a-\sqrt b)\bigl(2a+2\sqrt{ab}+2b\bigr)}{a+\sqrt{ab}+b} = 2(\sqrt a-\sqrt b). $$

Ответ

1) $$\frac{2}{a-1}$$;
2) $$2\sqrt a-2\sqrt b$$.