Упр.862 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

имеет ровно один корень.

Подробный ответ

Пусть

$$\frac{\lg(ax)}{\lg(x+1)}=2.$$

Тогда

$$\lg(ax)=2\lg(x+1)=\lg\bigl((x+1)^2\bigr),$$

откуда

$$ax=(x+1)^2.$$

Получаем квадратное уравнение

$$x^2+(2-a)x+1=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(2-a)^2-4=a^2-4a=a(a-4).$$

Чтобы уравнение имело корни, нужно

$$a(a-4)\ge 0,$$

то есть

$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$

Корни этого уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{a-2\pm\sqrt{a^2-4a}}{2}.$$

Так как в исходном уравнении должны выполняться условия области определения, то

$$x>0,\quad x\ne -1,\quad ax>0.$$

При $a\le 0$ произведение $ax>0$ возможно только при отрицательном корне, а положительный корень не подходит. Проверка показывает, что в этом случае остаётся ровно один корень.

При $a\ge 4$ оба корня существуют, но ровно один из них удовлетворяет области определения только при граничном значении $a=4$; тогда

$$x^2-2x+1=0,\quad (x-1)^2=0,$$

и получается единственный корень $x=1$.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень при

$$a<0 \quad \text{или} \quad a=4.$$