Упр.250 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 250. Пусть натуральные числа а, b и с не делятся на 3. Доказать, что число а2 + b2 + с2 делится на 3.
Так как числа $$a, b, c$$ не делятся на $$3$$, то каждое из них при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$ или $$2$$.
Рассмотрим все возможные случаи.
$$a=3m+1,\quad b=3n+1,\quad c=3k+1$$
$$ a^2+b^2+c^2=(3m+1)^2+(3n+1)^2+(3k+1)^2 $$
$$ =9m^2+6m+1+9n^2+6n+1+9k^2+6k+1 $$
$$ =9(m^2+n^2+k^2)+6(m+n+k)+3, $$значит, $$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
$$a=3m+2,\quad b=3n+1,\quad c=3k+1$$
$$ a^2+b^2+c^2=(3m+2)^2+(3n+1)^2+(3k+1)^2 $$
$$ =9m^2+12m+4+9n^2+6n+1+9k^2+6k+1 $$
$$ =9(m^2+n^2+k^2)+6(2m+n+k)+6, $$значит, $$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
$$a=3m+2,\quad b=3n+2,\quad c=3k+1$$
$$ a^2+b^2+c^2=(3m+2)^2+(3n+2)^2+(3k+1)^2 $$
$$ =9m^2+12m+4+9n^2+12n+4+9k^2+6k+1 $$
$$ =9(m^2+n^2+k^2)+6(2m+2n+k)+9, $$значит, $$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
$$a=3m+2,\quad b=3n+2,\quad c=3k+2$$
$$ a^2+b^2+c^2=(3m+2)^2+(3n+2)^2+(3k+2)^2 $$
$$ =9m^2+12m+4+9n^2+12n+4+9k^2+12k+4 $$
$$ =9(m^2+n^2+k^2)+12(m+n+k)+12, $$значит, $$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
Во всех возможных случаях сумма $$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
Ответ
$$a^2+b^2+c^2$$ делится на $$3$$.
