Упр.1207 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2sin2x — 3(sinx + cosx) + 2 = 0;
2) sin2x + 3 = 3sin x + 3cosx;
3) sin2x + 4(sinx + cosx) + 4 = 0;
4) sin2x + 5(cosx + sinx + 1) = 0.

1. $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2=0$$

   Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:

   $$ 2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0 $$
   $$ 2(\sin x+\cos x)^2-3(\sin x+\cos x)=0 $$
   $$ (\sin x+\cos x)\bigl(2(\sin x+\cos x)-3\bigr)=0 $$

   Тогда
   $$ \sin x+\cos x=0 $$
   или
   $$ 2(\sin x+\cos x)=3. $$

   Первое уравнение:
   $$ \sin x+\cos x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n. $$

   Второе уравнение не имеет решений, так как
   $$ \sin x+\cos x\le \sqrt{2}, $$
   а число $$\frac{3}{2}>\sqrt{2}.$$

2. $$\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону и заменим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$ \sin 2x+3-3\sin x-3\cos x=0 $$
   $$ 2\sin x\cos x+3-3(\sin x+\cos x)=0 $$
   $$ (\sin x+\cos x)^2-3(\sin x+\cos x)+2=0. $$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
   $$ y^2-3y+2=0 $$
   $$ (y-1)(y-2)=0. $$
   Значит, $$y=1$$ или $$y=2$$.

   Если $$\sin x+\cos x=1$$, то
   $$ \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 $$
   $$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$
   Отсюда
   $$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, $$
   то есть
   $$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$

   Если $$\sin x+\cos x=2$$, решений нет, так как
   $$ \sin x+\cos x\le \sqrt{2}. $$

3. $$\sin 2x+4(\sin x+\cos x)+4=0$$

   Аналогично:
   $$ 2\sin x\cos x+4(\sin x+\cos x)+4=0 $$
   $$ (\sin x+\cos x)^2+4(\sin x+\cos x)+3=0. $$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
   $$ y^2+4y+3=0 $$
   $$ (y+1)(y+3)=0. $$
   Значит, $$y=-1$$ или $$y=-3$$.

   Если $$\sin x+\cos x=-1$$, то
   $$ \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 $$
   $$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}. $$
   Отсюда
   $$ x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, $$
   то есть
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n. $$

   Если $$\sin x+\cos x=-3$$, решений нет, так как
   $$ \sin x+\cos x\ge -\sqrt{2}. $$

4. $$\sin 2x+5(\cos x+\sin x+1)=0$$

   Получаем:
   $$ 2\sin x\cos x+5(\sin x+\cos x)+5=0 $$
   $$ (\sin x+\cos x)^2+5(\sin x+\cos x)+4=0. $$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
   $$ y^2+5y+4=0 $$
   $$ (y+1)(y+4)=0. $$
   Значит, $$y=-1$$ или $$y=-4$$.

   Если $$\sin x+\cos x=-1$$, то, как и выше,
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n. $$

   Если $$\sin x+\cos x=-4$$, решений нет, так как
   $$ \sin x+\cos x\ge -\sqrt{2}. $$

Ответ

1. $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
2. $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
3. $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n$$
4. $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n$$