Упр.63 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) log(2; 3) и log(5; 8); б) log(9; 10) и lg(11);
в) 2^3^100 и 3^2^150; г) cosec(1/2) и 4(1-sin(1/2)).

1. Сравним $$\log_2 3$$ и $$\log_5 8$$.

   Так как $$3>2$$, то $$\log_2 3>1$$. Кроме того, $$8>5$$, значит $$\log_5 8>1$$.

   Чтобы сравнить точнее, заметим:

   $$3>2^{\frac32}, \qquad 8<5^{\frac32}$$

   Следовательно,

   $$\log_2 3>\frac32,\qquad \log_5 8<\frac32,$$

   значит

   $$\log_2 3>\log_5 8$$.

2. Сравним $$\log_9 10$$ и $$\lg 11$$.

   Имеем:

   $$\log_9 10=\frac{\lg 10}{\lg 9}=\frac{1}{\lg 9}.$$

   Тогда достаточно сравнить $$\frac{1}{\lg 9}$$ и $$\lg 11$$, то есть проверить, что

   $$\lg 9\cdot \lg 11<1.$$

   Так как $$9<10$$ и $$11<100$$, то

   $$\lg 9<1,\qquad \lg 11<2,$$

   а значит

   $$\lg 9\cdot \lg 11<1.$$

   Следовательно,

   $$\log_9 10>\lg 11$$.

3. Сравним $$2^{3^{100}}$$ и $$3^{2^{150}}$$.

   Возведём оба числа в степень $$\frac{1}{2^{150}}$$:

   $$ \left(2^{3^{100}}\right)^{\frac{1}{2^{150}}} \quad \text{и} \quad \left(3^{2^{150}}\right)^{\frac{1}{2^{150}}}. $$

   Получаем:

   $$ 2^{\frac{3^{100}}{2^{150}}} \quad \text{и} \quad 3. $$

   Так как

   $$ \frac{3^{100}}{2^{150}}=\left(\frac{3^2}{2^3}\right)^{50}=\left(\frac98\right)^{50}>1, $$

   то

   $$ 2^{\frac{3^{100}}{2^{150}}}>2. $$

   Следовательно,

   $$2^{3^{100}}>3^{2^{150}}$$.

4. Сравним $$\csc \frac12$$ и $$4\left(1-\sin \frac12\right)$$.

   Так как $$\csc \frac12=\frac{1}{\sin \frac12}$$, то нужно сравнить

   $$ \frac{1}{\sin \frac12} \quad \text{и} \quad 4-4\sin \frac12. $$

   Умножим на положительное число $$\sin \frac12$$:

   $$ 1>4\sin \frac12-4\sin^2 \frac12. $$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$ 4\sin^2 \frac12-4\sin \frac12+1>0. $$

   Это квадрат двучлена:

   $$ \left(2\sin \frac12-1\right)^2>0. $$

   Значит,

   $$\csc \frac12>4\left(1-\sin \frac12\right)$$.

Ответ

а) $$\log_2 3>\log_5 8$$;
б) $$\log_9 10>\lg 11$$;
в) $$2^{3^{100}}>3^{2^{150}}$$;
г) $$\csc \frac12>4\left(1-\sin \frac12\right)$$.