Упр.30 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 30. Докажите тождество (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/30 1023

Раскроем скобки в правой части:

$$ (ax+by)^2+(ay-bx)^2 $$
$$ = a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2 $$
$$ = a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 $$
$$ = (a^2+b^2)(x^2+y^2). $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 $$