Упр.207 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке I.

а) Признак возрастания. Докажем, что функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $$x$$ и $$x+\Delta x$$, где $$\Delta x \ne 0$$, из промежутка $$I$$ выполняется условие $$\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$$.

Пусть $$f$$ возрастает на $$I$$. Тогда при $$\Delta x > 0$$ имеем $$x+\Delta x > x$$, значит,

$$f(x+\Delta x) > f(x),$$

откуда

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x) > 0,$$

и потому

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} > 0.$$

Если же $$\Delta x < 0$$, то $$x+\Delta x < x$$, а так как функция возрастает, то

$$f(x+\Delta x) < f(x).$$

Следовательно,

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x) < 0,$$

и при делении отрицательного числа на отрицательное получаем

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} > 0.$$

Итак, для любых $$\Delta x \ne 0$$ из $$I$$ выполняется $$\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$$.

Обратно, пусть для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$ при $$\Delta x \ne 0$$ выполняется $$\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$$. Тогда при $$\Delta x > 0$$ имеем $$\Delta f > 0$$, то есть $$f(x+\Delta x) > f(x)$$. Значит, при увеличении аргумента значение функции увеличивается, следовательно, $$f$$ возрастает на $$I$$.

б) Признак убывания. Функция $$f$$ убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $$x$$ и $$x+\Delta x$$, где $$\Delta x \ne 0$$, из $$I$$ выполняется условие $$\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$$.

Доказательство проводится аналогично.

Если $$f$$ убывает и $$\Delta x > 0$$, то $$x+\Delta x > x$$, значит,

$$f(x+\Delta x) < f(x),$$

поэтому

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x) < 0,$$

и

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} < 0.$$

Если $$\Delta x < 0$$, то $$x+\Delta x < x$$, а для убывающей функции

$$f(x+\Delta x) > f(x),$$

следовательно, $$\Delta f > 0$$, и при делении положительного числа на отрицательное получаем

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} < 0.$$

Обратно, если для любых $$\Delta x \ne 0$$ из $$I$$ выполняется $$\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$$, то при $$\Delta x > 0$$ имеем $$\Delta f < 0$$, то есть $$f(x+\Delta x) < f(x)$$. Значит, функция убывает на $$I$$.

Ответ

$$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$, где $$\Delta x \ne 0$$, выполняется $$\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0$$.

$$f$$ убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$, где $$\Delta x \ne 0$$, выполняется $$\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0$$.