Упр.192 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (x-2)^(x^2-6x+8) > 1;
б) 9^v(x^2-3)+3 < 3^v(x^2-3)·28/3.

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x-2\right)^{x^2-6x+8}>1.$$

Чтобы степень была больше 1, возможны два случая:

• основание больше 1, а показатель положителен;
• основание между 0 и 1, а показатель отрицателен.

1) $$x-2>1,\quad x>3.$$

Тогда показатель должен быть положительным:

$$x^2-6x+8>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Получаем:

$$x<2 \quad \text{или} \quad x>4.$$

С учётом $$x>3$$ остаётся:

$$x>4.$$

2) $$0<x-2<1,\quad 2<x<3.$$

Тогда показатель должен быть отрицательным:

$$x^2-6x+8<0.$$

То есть

$$2<x<4.$$

С учётом $$2<x<3$$ получаем:

$$2<x<3.$$

Итак,

$$x\in(2;3)\cup(4;+\infty).$$

б) Решим неравенство $$9^{\sqrt{x^2-3}}+3<3^{\sqrt{x^2-3}}\cdot \frac{28}{3}.$$

Пусть $$y=3^{\sqrt{x^2-3}}.$$ Тогда

$$9^{\sqrt{x^2-3}}=\left(3^2\right)^{\sqrt{x^2-3}}=y^2.$$

Получаем:

$$y^2+3<\frac{28}{3}y,$$

$$3y^2-28y+9<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676,$$

$$y_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac13,\quad y_2=9.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac13<y<9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac13<3^{\sqrt{x^2-3}}<9.$$

Так как $$3^t$$ возрастает, имеем

$$-\!1<\sqrt{x^2-3}<2.$$

Но $$\sqrt{x^2-3}\ge 0,$$ значит остаётся

$$0\le \sqrt{x^2-3}<2.$$

Тогда

$$x^2-3<4,$$

$$x^2<7,$$

$$|x|<\sqrt7.$$

При этом область определения задаётся условием

$$x^2-3\ge 0,\quad |x|\ge \sqrt3.$$

Совмещая, получаем:

$$\sqrt3\le |x|<\sqrt7.$$

Следовательно,

$$x\in(-\sqrt7;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\sqrt7).$$

Ответ

а) $$x\in(2;3)\cup(4;+\infty).$$

б) $$x\in(-\sqrt7;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\sqrt7).$$