Упр.177 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) v3tg^2(x)-4tg(x)+v3 > 0; б) 15/(sin(x)+1) < 11-2sin(x); в) 2/(tg(x)+1) < 2-tg(x); г) tg(x)+ctg(x)?v3+1/v3.
а) Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=4^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=16-12=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2\sqrt{3}}, \quad y_1=\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad y_2=\sqrt{3}.$$
Тогда
$$\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3})>0,$$
откуда
$$y<\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad y>\sqrt{3}.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\tg x<\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad \tg x>\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
или
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$n\in \mathbb{Z}.$$
б) Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$\frac{15}{y+1}<11-2y.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$\frac{15-(11-2y)(y+1)}{y+1}<0.$$
После преобразований получаем
$$\frac{2y^2-9y+4}{y+1}<0.$$
Разложим числитель на множители:
$$2y^2-9y+4=2\left(y-\frac12\right)(y-4).$$
Тогда
$$\frac{\left(y-\frac12\right)(y-4)}{y+1}<0.$$
С учётом $$-1\le y\le 1$$ получаем
$$\frac12<y\le 1.$$
Значит,
$$\frac12<\sin x\le 1,$$
откуда
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$n\in \mathbb{Z}.$$
в) Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$\frac{2}{y+1}<2-y.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{2-(2-y)(y+1)}{y+1}<0.$$
После упрощения:
$$\frac{y^2-y}{y+1}<0,$$
$$\frac{y(y-1)}{y+1}<0.$$
Решение неравенства:
$$y<-1 \quad \text{или} \quad 0<y<1.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
или
$$\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$n\in \mathbb{Z}.$$
г) Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y+\frac{1}{y}\ge \sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}}{y}\ge 0.$$
Разложим числитель на множители:
$$\sqrt{3}y^2-4y+\sqrt{3}=\sqrt{3}\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3}).$$
Тогда
$$\frac{\left(y-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(y-\sqrt{3})}{y}\ge 0.$$
Отсюда
$$0<y\le \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad y\ge \sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$\pi n<x\le \frac{\pi}{6}+\pi n,$$
или
$$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\cup\left(\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$\left(\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
