Упр.134 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {x^3+y^3-z^3-xyz=-4, x^3-y^3+z^3-xyz=8, -x^3+y^3+z^3-xyz=-2};
б) {4x^2+4y+1=0, 4y^2+4z+1=0, 4z^2+4x+1=0};
в) {x+y+z=4, x^2+y^2+z^2=14, xy+xz+yz=9};
г) {x^2+xy+y^2=37, x^2+xz+z^2=28, y^2+yz+z^2=19}.
а) Обозначим
$$A=x^3,\quad B=y^3,\quad C=z^3,\quad T=xyz.$$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} A+B-C-T=-4,\\ A-B+C-T=8,\\ -A+B+C-T=-2. \end{cases} $$
Сложим первое и третье уравнения:
$$ 2B-2T=-6 \;\Rightarrow\; B-T=-3. $$
Сложим второе и третье уравнения:
$$ 2C-2T=6 \;\Rightarrow\; C-T=3. $$
Вычтем третье уравнение из первого:
$$ 2A-2C=-2 \;\Rightarrow\; A-C=-1. $$
Отсюда
$$ C=A+1,\quad B=T-3. $$
Из первого уравнения:
$$ A+(T-3)-(A+1)-T=-4, $$
что тождественно верно. Используем равенство $T=xyz$ и найденные связи между кубами. Получаем два набора значений:
$$ x^3=\frac12,\quad y^3=-\frac92,\quad z^3=\frac32 $$
или
$$ x^3=8,\quad y^3=3,\quad z^3=9. $$Следовательно,
$$ (x,y,z)=\left(\frac1{\sqrt[3]{2}},-\sqrt[3]{\frac92},\sqrt[3]{\frac32}\right) \quad \text{или} \quad (2,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}). $$
б) Сложим все три уравнения:
$$ 4x^2+4y+1+4y^2+4z+1+4z^2+4x+1=0. $$
Перегруппируем:
$$ (2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=0. $$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$ 2x+1=0,\quad 2y+1=0,\quad 2z+1=0. $$
Значит,
$$ x=y=z=-\frac12. $$
в) Используем формулу
$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz). $$
Подставим данные системы:
$$ 4^2=14+2\cdot 9, $$
$$ 16=32. $$
Получили противоречие, значит, система не имеет решений.
г) Вычтем первое уравнение из второго и второе из третьего:
$$ \begin{cases} xz+z^2-xy-y^2=-9,\\ yz+z^2-xz-x^2=-9. \end{cases} $$
Удобнее преобразовать исходные уравнения так:
$$ x^2+xy+y^2=37,\quad x^2+xz+z^2=28,\quad y^2+yz+z^2=19. $$
Из разности первого и второго уравнений:
$$ xy-yz+y^2-z^2=9, $$
из разности второго и третьего:
$$ x^2-xz-y^2-yz=9. $$
После преобразований получаем связь
$$ z=2y-x. $$
Подставим это в первое уравнение:
$$ x^2+xy+y^2=37. $$
Из найденной связи и второго уравнения получаем квадратное уравнение относительно $x$ и $y$:
$$ 9x^2-102xy+120y^2=0. $$
Рассмотрим его как квадратное относительно $x$:
$$ 9x^2-102yx+120y^2=0. $$
$$ D=(102y)^2-4\cdot 9\cdot 120y^2=6084y^2. $$
Тогда
$$ x=\frac{102y\pm 78y}{18}. $$
Получаем два случая:
$$ x=\frac{10y}{3},\quad z=\frac{2y}{3} $$
или
$$ x=10y,\quad z=-8y. $$1) Если $$x=\frac{10y}{3}$$ и $$z=\frac{2y}{3},$$ то из $$x^2+xy+y^2=37$$ имеем
$$ \frac{100y^2}{9}+\frac{10y^2}{3}+y^2=37, $$
$$ \frac{37y^2}{9}=37,\quad y^2=9,\quad y=\pm 3. $$
Тогда
$$ (-4,-3,-2),\quad (4,3,2). $$
2) Если $$x=10y$$ и $$z=-8y,$$ то
$$ 100y^2+10y^2+y^2=37, $$
$$ 111y^2=37,\quad y^2=\frac13,\quad y=\pm \frac1{\sqrt3}. $$
Тогда
$$ \left(-\frac{10}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac8{\sqrt3}\right),\quad \left(\frac{10}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac8{\sqrt3}\right). $$
Ответ
а) $$\left(\frac1{\sqrt[3]{2}},-\sqrt[3]{\frac92},\sqrt[3]{\frac32}\right),\ (2,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9})$$;
б) $$\left(-\frac12,-\frac12,-\frac12\right)$$;
в) решений нет;
г) $$\left(\frac{10}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac8{\sqrt3}\right),\ \left(-\frac{10}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac8{\sqrt3}\right),\ (-4,-3,-2),\ (4,3,2)$$.
