Упр.4 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Постройте график функции:
а) y=4^x; б) y=(1/4)^x; в) y=6^x; г) y=(1/6)^x.
3) Какое из чисел больше:
а) 2^0,4 или 2^(v2/3); б) 1,2^(-v3) или 1,2^v5;
в) (1/2)^v5 или (1/2)^v3; г) 0,3^(-?) или 0,3^(-3)?
1) Для показательной функции $$y=a^x$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 1$$, верно:
- $$D(x)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=(0;+\infty)$$;
- при $$a>1$$ функция возрастает на $$\mathbb{R}$$;
- при $$0<a<1$$ функция убывает на $$\mathbb{R}$$;
- $$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$;
- $$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$;
- $$\left(ab\right)^x=a^x b^x$$;
- $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$$;
- $$\left(a^x\right)^y=a^{xy}$$.
2) Построим графики функций. Все они проходят через точку $$\left(0;1\right)$$.
- $$y=4^x$$ — возрастающая экспонента;
- $$y=\left(\dfrac14\right)^x$$ — убывающая экспонента;
- $$y=6^x$$ — возрастающая экспонента, растёт быстрее, чем $$4^x$$;
- $$y=\left(\dfrac16\right)^x$$ — убывающая экспонента, убывает быстрее, чем $$\left(\dfrac14\right)^x$$.
3) Сравним числа, используя монотонность показательной функции.
а) Так как $$2>1$$ и $$0,4<\dfrac{\sqrt2}{3}$$, то
$$2^{0,4}<2^{\frac{\sqrt2}{3}}.$$
Больше число $$2^{\frac{\sqrt2}{3}}$$.
б) Так как $$1,2>1$$ и $$-\sqrt3<\sqrt5$$, то
$$1,2^{-\sqrt3}<1,2^{\sqrt5}.$$
Больше число $$1,2^{\sqrt5}$$.
в) Так как $$\dfrac12<1$$ и $$\sqrt5>\sqrt3$$, то при основании меньше 1 знак неравенства меняется:
$$\left(\dfrac12\right)^{\sqrt5}<\left(\dfrac12\right)^{\sqrt3}.$$
Больше число $$\left(\dfrac12\right)^{\sqrt3}$$.
г) Так как $$0,3<1$$ и $$-\pi<-3$$, то
$$0,3^{-\pi}>0,3^{-3}.$$
Больше число $$0,3^{-\pi}$$.
Ответ
1) $$D(x)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=(0;+\infty)$$; при $$a>1$$ функция возрастает, при $$0<a<1$$ убывает; верны формулы $$a^x a^y=a^{x+y}$$, $$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$, $$\left(ab\right)^x=a^x b^x$$, $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$$, $$\left(a^x\right)^y=a^{xy}$$.
3) а) $$2^{\frac{\sqrt2}{3}}$$; б) $$1,2^{\sqrt5}$$; в) $$\left(\dfrac12\right)^{\sqrt3}$$; г) $$0,3^{-\pi}$$.
