Упр.73 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) объем призмы как функцию стороны основания;
б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $$a$$. Тогда боковое ребро тоже равно $$a$$, а основание — равносторонний треугольник со стороной $$a$$.

Площадь основания:

$$S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

а) Объём призмы:

$$V= S_{осн}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

б) Выразим $$a$$ через объём:

$$V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4} \quad \Rightarrow \quad a^3=\frac{4V}{\sqrt{3}}.$$

Площадь боковой поверхности правильной призмы:

$$S_{бок}=P_{осн}\cdot a=3a\cdot a=3a^2.$$

Найдём $$a^2$$ через $$V$$:

$$a^2=\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}.$$

Тогда

$$S_{бок}=3\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}.$$

Можно также записать в виде

$$S_{бок}=\sqrt[3]{144V^2}.$$

Ответ

$$V(a)=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}, \qquad S_{бок}(V)=3\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{144V^2}.$$