Упр.274 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (0; a)?cos(x/2)dx, a?R; б) (0; a+?/2)?cos(2x)dx, a?R.

а) Пусть

$$A=\int\limits_0^a \cos \frac{x}{2}\,dx.$$

Найдём первообразную:

$$\int \cos \frac{x}{2}\,dx=2\sin \frac{x}{2}.$$

Тогда

$$A=2\sin \frac{x}{2}\Bigg|_0^a=2\sin \frac{a}{2}.$$

Так как $$-1\le \sin \frac{a}{2}\le 1,$$ то

$$-2\le A\le 2.$$

Следовательно, наибольшее значение интеграла равно $$2,$$ а наименьшее — $$-2.$$

б) Пусть

$$A=\int\limits_0^{a+\frac{\pi}{2}} \cos 2x\,dx.$$

Тогда

$$\int \cos 2x\,dx=\frac12 \sin 2x,$$

и

$$A=\frac12 \sin 2x\Bigg|_0^{a+\frac{\pi}{2}}=\frac12 \sin\left(2a+\pi\right).$$

Так как $$\sin(2a+\pi)=-\sin 2a,$$ получаем

$$A=-\frac12 \sin 2a.$$

Поскольку $$-1\le \sin 2a\le 1,$$ то

$$-\frac12\le A\le \frac12.$$

Значит, наибольшее значение интеграла равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$-\frac12.$$

Ответ

а) $$-2;\ 2$$; б) $$-\frac12;\ \frac12$$.