Упр.253 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 253. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Пусть сторона основания призмы равна $$a$$, а высота — $$h$$. Тогда площадь основания правильного треугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

По условию объём призмы равен $$V$$, значит

$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h,$$

откуда

$$h=\frac{4V}{a^2\sqrt{3}}.$$

Площадь полной поверхности призмы:

$$S(a)=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a\cdot \frac{4V}{a^2\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{12V}{a\sqrt{3}}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(a)=a\sqrt{3}-\frac{12V}{a^2\sqrt{3}}.$$

При минимуме $$S'(a)=0$$, значит

$$a\sqrt{3}=\frac{12V}{a^2\sqrt{3}}.$$

Умножим на $$a^2\sqrt{3}$$:

$$3a^3=12V,$$

$$a^3=4V,$$

$$a=\sqrt[3]{4V}.$$

Именно при таком значении сторона основания даёт наименьшую площадь полной поверхности.

Ответ

$$\sqrt[3]{4V}$$