Упр.148 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) vx-4/v(2+x)+v(2+x)=0; б) vx+x^(1/4)-2=0;
в) (x-v(x+5))/(x+v(x+5))=1/7; г) (3x+1)^(1/3)-v(3x+1)=0.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{2+x}}+\sqrt{2+x}=0.$$
Перенесём дробь вправо и умножим на $$\sqrt{2+x}$$:
$$\sqrt{x}\sqrt{2+x}+2+x=4.$$
Так как $$\sqrt{x}\sqrt{2+x}=\sqrt{x(2+x)}$$, получаем
$$\sqrt{x(2+x)}=2-x.$$
Возведём в квадрат:
$$x(2+x)=(2-x)^2,$$
$$x^2+2x=4-4x+x^2,$$
$$6x=4,$$
$$x=\frac{2}{3}.$$
Проверка области определения:
$$2+x>0,\quad x>-2,$$
$$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$
Значение $$x=\frac{2}{3}$$ подходит.
б) $$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-2=0.$$
Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2+t-2=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0.$$
Так как $$t=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ то $$t=1.$$ Тогда
$$x=t^4=1.$$
в) $$\frac{x-\sqrt{x+5}}{x+\sqrt{x+5}}=\frac17.$$
Перемножим крест-накрест:
$$7x-7\sqrt{x+5}=x+\sqrt{x+5},$$
$$6x=8\sqrt{x+5},$$
$$3x=4\sqrt{x+5}.$$
Возведём в квадрат:
$$9x^2=16(x+5),$$
$$9x^2-16x-80=0.$$
$$D=16^2+4\cdot 9\cdot 80=3136,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 56}{18}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac{20}{9},\quad x_2=4.$$
Проверим область определения:
$$x+5\ge 0,\quad x\ge -5,$$
$$x+\sqrt{x+5}\ne 0.$$
Подходит только $$x=4.$$
г) $$\sqrt[3]{3x+1}-\sqrt{3x+1}=0.$$
Обозначим $$t=\sqrt{3x+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sqrt[3]{3x+1}=t^{2/3}$$, но удобнее заметить, что равенство возможно, когда
$$\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt{3x+1}.$$
Пусть $$u=3x+1\ge 0$$. Тогда
$$\sqrt[3]{u}-\sqrt{u}=0,$$
$$u^{1/3}=u^{1/2}.$$
Отсюда либо $$u=0,$$ либо при $$u>0$$ после возведения в степень получаем $$u=1.$$
Значит,
$$3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,$$
$$3x+1=1 \Rightarrow x=0.$$