Упр.92 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Пусть $$x_0$$ — точка максимума чётной функции $$f$$. Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x_0)\ge f(x)$$.
Так как функция чётная, то $$f(-x_0)=f(x_0)$$. Следовательно,
$$f(-x_0)=f(x_0)\ge f(x).$$
Значит, значение функции в точке $$-x_0$$ не меньше значений в близких точках, то есть $$-x_0$$ — точка максимума.
б) Пусть $$f$$ — нечётная функция и на промежутке $$[a;b]$$ она убывает. Тогда для любых $$x_1,x_2$$ таких, что $$a\le x_1<x_2\le b,$$ имеем
$$f(x_1)>f(x_2).$$
Умножим неравенство $$a\le x_1<x_2\le b$$ на $$-1$$:
$$-b\le -x_2<-x_1\le -a.$$
Значит, $$-x_2$$ и $$-x_1$$ принадлежат промежутку $$[-b;-a]$$, причём $$-x_2<-x_1$$. Так как функция нечётная, то
$$f(-x_1)=-f(x_1),\qquad f(-x_2)=-f(x_2).$$
Из $$f(x_1)>f(x_2)$$ получаем
$$-f(x_1)<-f(x_2),$$
то есть
$$f(-x_1)<f(-x_2).$$
Следовательно, на промежутке $$[-b;-a]$$ функция $$f$$ убывает.
в) Пусть $$x_0$$ — точка минимума нечётной функции $$f$$. Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется
$$f(x_0)\le f(x).$$
Так как функция нечётная, то $$f(-x_0)=-f(x_0)$$. Из неравенства выше получаем
$$-f(-x_0)\le f(x),$$
или
$$f(-x_0)\ge f(x).$$
Значит, $$-x_0$$ — точка максимума.
г) Пусть $$f$$ — чётная функция и на промежутке $$[a;b]$$ она возрастает. Тогда для любых $$x_1,x_2$$ таких, что $$a\le x_1<x_2\le b,$$ имеем
$$f(x_1)<f(x_2).$$
После умножения неравенства $$a\le x_1<x_2\le b$$ на $$-1$$ получаем
$$-b\le -x_2<-x_1\le -a.$$
Значит, $$-x_2$$ и $$-x_1$$ принадлежат промежутку $$[-b;-a]$$, причём $$-x_2<-x_1$$. Так как функция чётная, то
$$f(-x_1)=f(x_1),\qquad f(-x_2)=f(x_2).$$
Из $$f(x_1)<f(x_2)$$ следует
$$f(-x_1)<f(-x_2).$$
Следовательно, на промежутке $$[-b;-a]$$ функция $$f$$ убывает.