Упр.565 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$y=x^{\sqrt2},\ y=0,\ x=1.$$

   Искомая площадь равна

   $$S=\int_0^1 x^{\sqrt2}\,dx=\left.\frac{x^{\sqrt2+1}}{\sqrt2+1}\right|_0^1=\frac{1}{\sqrt2+1}.$$

2. б) $$y=x^{\sqrt3},\ y=\frac1x,\ x=\frac12.$$

   Точка пересечения графиков находится из уравнения

   $$x^{\sqrt3}=\frac1x \quad \Rightarrow \quad x^{\sqrt3+1}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

   Тогда площадь фигуры:

   $$S=\int_{1/2}^{1}\left(\frac1x-x^{\sqrt3}\right)\,dx.$$

   Вычислим:

   $$ S=\left.\left(\ln x-\frac{x^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right)\right|_{1/2}^{1} =\left(0-\frac1{\sqrt3+1}\right)-\left(-\ln2-\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right). $$

   Так как

   $$\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{2},$$

   получаем

   $$ S=\ln2+\frac{\sqrt3-1}{2}\left(\frac1{2^{\sqrt3+1}}-1\right). $$

3. в) $$y=x^{-0{,}8},\ y=0,\ x=1,\ x=32.$$

   Площадь:

   $$ S=\int_1^{32} x^{-0{,}8}\,dx =\left.\frac{x^{0{,}2}}{0{,}2}\right|_1^{32} =\frac{32^{0{,}2}-1}{0{,}2}. $$

   Так как $$32=2^5,$$ то

   $$32^{0{,}2}=(2^5)^{0{,}2}=2,$$

   следовательно,

   $$S=\frac{2-1}{0{,}2}=5.$$

4. г) $$y=\frac1x,\ y=0,\ x=3,\ x=5.$$

   Площадь фигуры:

   $$ S=\int_3^5 \frac1x\,dx=\left.\ln x\right|_3^5=\ln5-\ln3=\ln\frac53. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt2+1}$$;
б) $$\ln2+\frac{\sqrt3-1}{2}\left(\frac1{2^{\sqrt3+1}}-1\right)$$;
в) $$5$$;
г) $$\ln\frac53$$.