Упр.380 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Центр масс однородного прямого кругового конуса лежит на его оси $$OA$$. Пусть расстояние от вершины конуса до центра масс равно $$x$$, а высота конуса равна $$h$$, радиус основания — $$r$$.

Рассмотрим тонкий слой конуса на расстоянии $$x$$ от вершины толщиной $$dx$$. Радиус этого слоя пропорционален расстоянию до вершины:

$$\frac{x}{h}=\frac{y}{r}, \qquad y=\frac{r}{h}x.$$

Тогда объём слоя

$$dV=\pi y^2\,dx=\pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx.$$

Координата центра масс по оси $$OA$$ находится по формуле

$$\bar x=\frac{\int_0^h x\,dV}{\int_0^h dV}.$$

Подставим $$dV$$:

$$ \bar x=\frac{\int_0^h x\cdot \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx}{\int_0^h \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx} =\frac{\int_0^h x^3\,dx}{\int_0^h x^2\,dx}. $$

Вычислим интегралы:

$$ \int_0^h x^3\,dx=\frac{h^4}{4}, \qquad \int_0^h x^2\,dx=\frac{h^3}{3}. $$

Тогда

$$ \bar x=\frac{h^4/4}{h^3/3}=\frac{3}{4}h. $$