Упр.325 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть в окружность радиуса $$R$$ вписан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC$$. Обозначим $$\angle A=\angle C=\alpha$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-2\alpha.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin C}=2R,$$

откуда

$$AB=2R\sin\alpha,\qquad BC=2R\sin\alpha.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B$$

$$S=\frac12\cdot 2R\sin\alpha\cdot 2R\sin\alpha\cdot \sin(180^\circ-2\alpha)$$

$$S=2R^2\sin^2\alpha\sin 2\alpha.$$

Найдём максимум функции $$S(\alpha)$$:

$$S'(\alpha)=2R^2\left(2\sin\alpha\cos\alpha\sin 2\alpha+\sin^2\alpha\cdot 2\cos 2\alpha\right)$$

$$S'(\alpha)=2R^2\left(\sin^2 2\alpha+2\sin^2\alpha\cos 2\alpha\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin^2 2\alpha+2\sin^2\alpha\cos 2\alpha=0.$$

Так как $$\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$, получаем

$$4\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2\sin^2\alpha\cos 2\alpha=0,$$

$$2\sin^2\alpha\,(2\cos^2\alpha+\cos 2\alpha)=0.$$

Для невырожденного треугольника $$\sin\alpha\ne 0$$, значит

$$2\cos^2\alpha+\cos 2\alpha=0.$$

Подставим $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$:

$$2\cos^2\alpha+2\cos^2\alpha-1=0,$$

$$4\cos^2\alpha=1,$$

$$\cos\alpha=\frac12.$$

Следовательно,

$$\alpha=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ,$$

то есть треугольник равносторонний.

Ответ

Наибольшую площадь среди всех вписанных в данный круг треугольников имеет равносторонний треугольник.