Упр.968 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) не имеет действительных корней;
б) имеет равные корни;
в) имеет неравные корни?

Рассмотрим квадратное уравнение $$2x^2+x+2p^2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2\cdot 2p^2=1-16p^2=(1-4p)(1+4p).$$

1. Уравнение не имеет действительных корней, если $$D<0.$$ Тогда

   $$1-16p^2<0,$$

   $$16p^2>1,$$

   $$|p|>\frac14.$$

   Значит,

   $$p\in(-\infty;-\tfrac14)\cup(\tfrac14;+\infty).$$

2. Уравнение имеет равные корни, если $$D=0.$$ Тогда

   $$1-16p^2=0,$$

   $$p=\pm \frac14.$$

3. Уравнение имеет неравные действительные корни, если $$D>0.$$ Тогда

   $$1-16p^2>0,$$

   $$|p|<\frac14.$$

   Следовательно,

   $$p\in(-\tfrac14;\tfrac14).$$

Ответ

а) $$p\in(-\infty;-\tfrac14)\cup(\tfrac14;+\infty);$$

б) $$p=\pm \tfrac14;$$

в) $$p\in(-\tfrac14;\tfrac14).$$