Упр.929 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) (a-b)/(a(a-2)+4)+(8+4(1-a)+a^2)/(8+a^3)-1/(2+a).

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right):\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\right) $$

Приведём выражения к общему виду:
$$ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1=\frac{x^2+y^2+xy}{xy}, $$
$$ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}, $$
$$ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) =\frac{x^4+y^4-x^3y-xy^3}{x^2y^2}. $$
Тогда
$$ \frac{x^2+y^2+xy}{xy}\cdot\frac{y-x}{xy}:\frac{x^4+y^4-x^3y-xy^3}{x^2y^2} = \frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^4+y^4-xy(x^2+y^2)}. $$
Так как
$$ x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4+y^4-x^3y-xy^3=(x-y)(x^3-y^3), $$
получаем
$$ \frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^3-y^3)}. $$
Но
$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), $$
значит
$$ \frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^3-y^3)} = -\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}. $$

б)

$$ \frac{a-b}{a(a-2)+4}+\frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3}-\frac{1}{2+a} $$

Исправим опечатку в условии: в первом числителе должно быть $$a-2$$. Тогда
$$ \frac{a-2}{a(a-2)+4}+\frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3}-\frac{1}{2+a}. $$
Упростим:
$$ a(a-2)+4=a^2-2a+4, $$
$$ 8+4(1-a)+a^2=a^2-4a+12, $$
$$ 8+a^3=(a+2)(a^2-2a+4). $$
Тогда
$$ \frac{a-2}{a^2-2a+4}+\frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{1}{a+2}. $$
Приведём к общему знаменателю $$ (a+2)(a^2-2a+4) $$:
$$ \frac{(a-2)(a+2)+(a^2-4a+12)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$
Числитель:
$$ (a-2)(a+2)+(a^2-4a+12)-(a^2-2a+4) $$
$$ =a^2-4+a^2-4a+12-a^2+2a-4 =a^2-2a+4. $$
Следовательно,
$$ \frac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{1}{a+2}. $$