Упр.920 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3; б) x^4+x^2+1; в) x^8+x^4+1.

а) Используем формулу суммы кубов и группировку:

$$ (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 $$
$$ =(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)+(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)+(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3) $$
$$ =3ab(b-a)+3c^2(b-a)-3c(b^2-a^2) $$
$$ =3(b-a)(ab+c^2-c(a+b)) $$
$$ =3(b-a)(ab-ac-bc+c^2) $$
$$ =3(b-a)(a-c)(b-c). $$

б) Представим многочлен как разность квадратов:

$$ x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2 $$
$$ =(x^2+1-x)(x^2+1+x). $$

в) Аналогично:

$$ x^8+x^4+1=(x^8+2x^4+1)-x^4=(x^4+1)^2-(x^2)^2 $$
$$ =(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2). $$

Первый множитель разложим дальше:

$$ x^4+1-x^2=(x^4+2x^2+1)-3x^2=(x^2+1)^2-(x\sqrt3)^2 $$
$$ =(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3). $$

Тогда

$$ x^8+x^4+1=(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3)(x^4+x^2+1). $$

Ответ

а) $$3(b-a)(a-c)(b-c)$$
б) $$(x^2+1-x)(x^2+1+x)$$
в) $$(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3)(x^4+x^2+1)$$