Упр.487 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
б) Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены.
а) Пусть четыре последовательных члена геометрической прогрессии равны $$a,\; aq,\; aq^2,\; aq^3.$$ Тогда по условию
$$ \begin{cases} a+aq^3=13,\\ aq+aq^2=4. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем
$$aq(1+q)=4,$$
а из первого
$$a(1+q^3)=13.$$
Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2),$$ то
$$a(1+q)(1-q+q^2)=13.$$
Подставим $$a(1+q)=\dfrac{4}{q}$$:
$$\frac{4}{q}(1-q+q^2)=13.$$
Умножим на $$q$$:
$$4-4q+4q^2=13q,$$
$$4q^2-17q+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,$$
$$q=\frac{17\pm 15}{8}.$$
Отсюда
$$q_1=4,\qquad q_2=\frac14.$$
Найдём члены прогрессии.
При $$q=4$$:
$$a(1+4)=\frac{4}{4},\qquad a=\frac15.$$
Тогда
$$\frac15,\; \frac45,\; \frac{16}{5},\; \frac{64}{5}.$$
При $$q=\frac14$$:
$$a\left(1+\frac14\right)=\frac{4}{1/4},\qquad a=\frac{64}{5}.$$
Тогда
$$\frac{64}{5},\; \frac{16}{5},\; \frac45,\; \frac15.$$
б) Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии равны $$a,\; aq,\; aq^2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a+aq+aq^2=19,\\ a^2+a^2q^2+a^2q^4=133. \end{cases} $$
Из первого уравнения
$$a(1+q+q^2)=19.$$
Из второго
$$a^2(1+q^2+q^4)=133.$$
Обозначим $$t=q+\frac1q.$$ Тогда
$$1+q+q^2=q\left(\frac1q+1+q\right)=q(t+1),$$
а также
$$1+q^2+q^4=q^2\left(\frac1{q^2}+1+q^2\right)=q^2(t^2-1).$$
Удобнее воспользоваться стандартной заменой и получить уравнение для $$q$$:
$$228q^2-494q+228=0.$$
$$D=494^2-4\cdot 228\cdot 228=36100,$$
$$q=\frac{494\pm 190}{456}.$$
Следовательно,
$$q_1=\frac32,\qquad q_2=\frac23.$$
Найдём сами члены прогрессии. При $$q=\frac32$$ получаем
$$a=4,\qquad aq=6,\qquad aq^2=9.$$
При $$q=\frac23$$ получаем ту же прогрессию в обратном порядке:
$$9,\; 6,\; 4.$$
Ответ
а) $$\frac15,\; \frac45,\; \frac{16}{5},\; \frac{64}{5}$$ или $$\frac{64}{5},\; \frac{16}{5},\; \frac45,\; \frac15.$$
б) $$4,\; 6,\; 9$$ или $$9,\; 6,\; 4.$$
