Упр.426 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 426. Доказываем. Докажите, что для любых натуральных n последовательность чисел Фибоначчи (un) обладает свойством:

Подробный ответ

Докажем все равенства методом математической индукции, используя рекуррентную формулу чисел Фибоначчи $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$$ где $$u_1=u_2=1.$$

Докажем, что $$u_1+u_2+\dots+u_n=u_{n+2}-1.$$
При $$n=1$$ имеем:
$$u_1=1,\qquad u_3-1=(u_2+u_1)-1=2-1=1,$$
то есть равенство верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$u_1+u_2+\dots+u_k=u_{k+2}-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ u_1+u_2+\dots+u_k+u_{k+1} =u_{k+2}-1+u_{k+1} =u_{k+3}-1. $$
Следовательно, $$u_1+u_2+\dots+u_n=u_{n+2}-1.$$
Докажем, что $$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}.$$
При $$n=1$$:
$$u_1=1=u_2,$$
значит, равенство верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2k-1}+u_{2k+1} =u_{2k}+u_{2k+1} =u_{2k+2}. $$
Следовательно, $$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}.$$
Докажем, что $$u_2+u_4+u_6+\dots+u_{2n}=u_{2n+1}-1.$$
При $$n=1$$:
$$u_2=1=u_3-1,$$
значит, равенство верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$u_2+u_4+u_6+\dots+u_{2k}=u_{2k+1}-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ u_2+u_4+u_6+\dots+u_{2k}+u_{2k+2} =u_{2k+1}-1+u_{2k+2} =u_{2k+3}-1. $$
Следовательно, $$u_2+u_4+u_6+\dots+u_{2n}=u_{2n+1}-1.$$
Докажем, что $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$u_1^2=1=u_1\cdot u_2,$$
значит, равенство верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2 =u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2 =u_{k+1}(u_k+u_{k+1}) =u_{k+1}\cdot u_{k+2}. $$
Следовательно, $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}.$$