Упр.181 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) x^2+4x-2- 15/(x^2+4x) < 0 б) x^2-6x+13+40/(x^2-6x) < =0 в) x^2-6x-4- 36/(x^2-6x+5) < =0 г) x^2-8x+4+24/(x^2-8x+15) > =0
а) Обозначим $$y=x^2+4x.$$ Тогда неравенство принимает вид
$$y-2-\frac{15}{y}\le 0,$$
$$\frac{y^2-2y-15}{y}\le 0,$$
$$\frac{(y+3)(y-5)}{y}\le 0.$$
Отсюда
$$y\in[-5;-3]\cup(0;5].$$
Теперь решим по частям:
$$x^2+4x\in[-5;-3]\cup(0;5].$$
1) $$x^2+4x\le -3$$
$$x^2+4x+3\le 0,$$
$$ (x+3)(x+1)\le 0,$$
$$x\in[-3;-1].$$
2) $$x^2+4x>0$$
$$x(x+4)>0,$$
$$x\in(-\infty;-4)\cup(0;+\infty).$$
3) $$x^2+4x\le 5$$
$$x^2+4x-5\le 0,$$
$$ (x+5)(x-1)\le 0,$$
$$x\in[-5;1].$$
Пересечение полученных множеств даёт
$$x\in[-5;-4)\cup[-3;-1]\cup(0;1].$$
б) Пусть $$y=x^2-6x.$$ Тогда
$$y+13+\frac{40}{y}\le 0,$$
$$\frac{y^2+13y+40}{y}\le 0,$$
$$\frac{(y+5)(y+8)}{y}\le 0.$$
Отсюда
$$y\in(-\infty;-8]\cup[-5;0).$$
1) $$x^2-6x\le -8$$
$$x^2-6x+8\le 0,$$
$$ (x-2)(x-4)\le 0,$$
$$x\in[2;4].$$
2) $$x^2-6x\ge -5$$
$$x^2-6x+5\ge 0,$$
$$ (x-1)(x-5)\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;1]\cup[5;+\infty).$$
3) $$x^2-6x<0$$
$$x(x-6)<0,$$
$$x\in(0;6).$$
Итак,
$$x\in(0;1]\cup[2;4]\cup[5;6).$$
в) Пусть $$y=x^2-6x+5.$$ Тогда
$$y-9-\frac{36}{y}\ge 0,$$
$$\frac{y^2-9y-36}{y}\ge 0,$$
$$\frac{(y-12)(y+3)}{y}\ge 0.$$
Отсюда
$$y\in(-\infty;-3]\cup(0;12].$$
1) $$x^2-6x+5\le -3$$
$$x^2-6x+8\le 0,$$
$$ (x-2)(x-4)\le 0,$$
$$x\in[2;4].$$
2) $$x^2-6x+5>0$$
$$ (x-1)(x-5)>0,$$
$$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty).$$
3) $$x^2-6x+5\ge 12$$
$$x^2-6x-7\ge 0,$$
$$ (x+1)(x-7)\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty).$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1]\cup(1;2]\cup[4;5)\cup[7;+\infty).$$
г) Пусть $$y=x^2-8x+15.$$ Тогда
$$y-11+\frac{24}{y}\ge 0,$$
$$\frac{y^2-11y+24}{y}\ge 0,$$
$$\frac{(y-3)(y-8)}{y}\ge 0.$$
Отсюда
$$y\in(0;3]\cup[8;+\infty).$$
1) $$x^2-8x+15>0$$
$$ (x-3)(x-5)>0,$$
$$x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty).$$
2) $$x^2-8x+15\le 3$$
$$x^2-8x+12\le 0,$$
$$ (x-2)(x-6)\le 0,$$
$$x\in[2;6].$$
3) $$x^2-8x+15\ge 8$$
$$x^2-8x+7\ge 0,$$
$$ (x-1)(x-7)\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;1]\cup[2;3)\cup(5;6]\cup[7;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in[-5;-4)\cup[-3;-1]\cup(0;1]$$; б) $$x\in(0;1]\cup[2;4]\cup[5;6)$$; в) $$x\in(-\infty;-1]\cup(1;2]\cup[4;5)\cup[7;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;1]\cup[2;3)\cup(5;6]\cup[7;+\infty)$$.
