Упр.152 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) x/(x-1) < 1/x
б) 3/x > 5x/3
в) (x+1)/(x-1) < 3/x
г) 2/x > (x-2)/(3-x)
а) $$\frac{x}{x-1}<\frac{1}{x}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2-x+1}{x(x-1)}<0$$
Числитель $$x^2-x+1$$ всегда положителен, так как
$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.$$
Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
$$x(x-1)<0.$$
Отсюда
$$0<x<1.$$
б) $$\frac{3}{x}>\frac{5x}{3}$$
Перенесём в одну сторону:
$$\frac{3}{x}-\frac{5x}{3}>0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{9-5x^2}{3x}>0$$
Найдём нули числителя:
$$9-5x^2=0,\qquad x=\pm\frac{3\sqrt5}{5}.$$
Критические точки: $$-\frac{3\sqrt5}{5},\ 0,\ \frac{3\sqrt5}{5}.$$
По знакам дроби получаем:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{3\sqrt5}{5}\right)\cup\left(0;\frac{3\sqrt5}{5}\right).$$
в) $$\frac{x+1}{x-1}<\frac{3}{x}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{x+1}{x-1}-\frac{3}{x}<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x+1)-3(x-1)}{x(x-1)}<0$$
$$\frac{x^2+x-3x+3}{x(x-1)}<0$$
$$\frac{x^2-2x+3}{x(x-1)}<0$$
Числитель:
$$x^2-2x+3=0,\qquad D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8<0.$$
Следовательно, $$x^2-2x+3>0$$ при всех $$x$$.
Тогда дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен:
$$x(x-1)<0.$$
Отсюда
$$0<x<1.$$
г) $$\frac{2}{x}>\frac{x-2}{3-x}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{2}{x}-\frac{x-2}{3-x}>0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(3-x)-x(x-2)}{x(3-x)}>0$$
$$\frac{6-2x-x^2+2x}{x(3-x)}>0$$
$$\frac{6-x^2}{x(3-x)}>0$$
Разложим числитель на множители:
$$\frac{(\sqrt6-x)(\sqrt6+x)}{x(3-x)}>0.$$
Критические точки: $$-\sqrt6,\ 0,\ \sqrt6,\ 3.$$
По знакам дроби получаем:
$$x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(0;\sqrt6)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(0;1)$$; б) $$x\in\left(-\infty;-\frac{3\sqrt5}{5}\right)\cup\left(0;\frac{3\sqrt5}{5}\right)$$; в) $$x\in(0;1)$$; г) $$x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(0;\sqrt6)\cup(3;+\infty)$$.
