Упр.1014 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) ((x-y)(x^2+y^2)=447, xy(x-y)=210); б) {(xy(x+y)=20, x+y=(5/4)xy).

а) Обозначим $$a=x-y.$$ Тогда из второго уравнения системы получаем

$$xy\cdot a=210.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$a(x^2+y^2)=447,$$

$$a\bigl((x-y)^2+2xy\bigr)=447,$$

$$a^3+2xy\cdot a=447.$$

Так как $$xy\cdot a=210,$$ то

$$a^3+2\cdot 210=447,$$

$$a^3=27,$$

$$a=3.$$

Значит, $$x-y=3,$$ то есть $$y=x-3.$$ Подставим во второе уравнение:

$$x(x-3)\cdot 3=210,$$

$$3x^2-9x-210=0,$$

$$x^2-3x-70=0,$$

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot (-70)=9+280=289,$$

$$x=\frac{3\pm 17}{2}.$$

Тогда

$$x_1=10,\quad y_1=7;$$

$$x_2=-7,\quad y_2=-10.$$

б) Обозначим $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда система принимает вид

$$ps=20,$$

$$s=\frac54 p.$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$p\cdot \frac54 p=20,$$

$$\frac54 p^2=20,$$

$$p^2=16,$$

$$p=\pm 4.$$

1) Если $$p=4,$$ то $$s=5.$$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+4=0,$$

$$t=1 \text{ или } t=4.$$

Получаем пары $$ (1;4) $$ и $$ (4;1).$$

2) Если $$p=-4,$$ то $$s=-5.$$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2+5t-4=0,$$

$$t=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2}.$$

Получаем пары

$$\left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2};\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right),\quad \left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2};\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right).$$

Ответ

а) $$(-7;-10),\ (10;7);$$ б) $$ (1;4),\ (4;1),\ \left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2};\frac{-5+\sqrt{41}}{2}\right),\ \left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2};\frac{-5-\sqrt{41}}{2}\right).$$