Упр.7.41 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько на самом деле он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько на самом деле шел пешком, то соответствующие расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько времени он плыл по реке?

Подробный ответ

Пусть $$t_{\text{п}}$$ — время, которое турист плыл по реке, а $$t_{\text{ш}}$$ — время, которое он шел пешком. Тогда по условию:

$$ \begin{cases} t_{\text{п}}-t_{\text{ш}}=4,\\ \dfrac{90}{t_{\text{п}}}\cdot t_{\text{ш}}=\dfrac{10}{t_{\text{ш}}}\cdot t_{\text{п}}. \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем:

$$ t_{\text{п}}=t_{\text{ш}}+4. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ \frac{90}{t_{\text{п}}}\cdot t_{\text{ш}}=\frac{10}{t_{\text{ш}}}\cdot t_{\text{п}} $$
$$ 90t_{\text{ш}}^2=10t_{\text{п}}^2 $$
$$ 9t_{\text{ш}}^2=t_{\text{п}}^2. $$

Теперь подставим $$t_{\text{п}}=t_{\text{ш}}+4$$:

$$ 9t_{\text{ш}}^2=(t_{\text{ш}}+4)^2 $$
$$ 9t_{\text{ш}}^2=t_{\text{ш}}^2+8t_{\text{ш}}+16 $$
$$ 8t_{\text{ш}}^2-8t_{\text{ш}}-16=0 $$
$$ t_{\text{ш}}^2-t_{\text{ш}}-2=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=1+8=9, $$
$$ t_{\text{ш}}=\frac{1\pm 3}{2}. $$

Получаем:

$$ t_{\text{ш}}=-1 \quad \text{или} \quad t_{\text{ш}}=2. $$

Так как время не может быть отрицательным, берём $$t_{\text{ш}}=2$$ ч. Тогда

$$ t_{\text{п}}=2+4=6. $$